2名古屋大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) 内分点なので$0<s,t<1$である。$A$を原点とし、$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol b$、$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol c$とおく。 $P=s\boldsymbol c$、$Q=(1-t)\boldsymbol b+t\boldsymbol c$であり、$R=uQ=(1-v)\boldsymbol b+vs\boldsymbol c$と書ける。係数を比較して $$\displaystyle u=\frac{s}{s+t-st},\qquad v=\frac{t}{s+t-st}.$$ $D=s+t-st>0$と略記する。$R$の$\boldsymbol b$係数は$s(1-t)/D$であるから、底辺$AP=s\,AC$と高さの比により $$\displaystyle \frac{[APR]}{[ABC]}=\frac{s^2(1-t)}D.$$ 同様に$R$の$A$に対する面積座標は$1-u=t(1-s)/D$なので $$\displaystyle \frac{[BQR]}{[ABC]}=\frac{t^2(1-s)}D.$$ 従って条件は$(1-t)s^2+2t^2s-2t^2=0$となる。二次方程式の解のうち正のものを取り、有理化すると $$\displaystyle \boxed{s=\frac{t\{\sqrt{t^2-2t+2}-t\}}{1-t} =\frac{2t}{\sqrt{t^2-2t+2}+t}}.$$ この解は$0<s<1$を満たす。実際、二次式は$s=0$で負、$s=1$で正であり、$s>0$の範囲では、$s$ が大きくなると二次式の値も必ず大きくなるためである。 (2) $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{t\to+0}\frac st=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2}.$$