3新潟大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) 直線ℓが辺OA,BCと交わる高さはそれぞれ$b,b-a$。下側は平行な辺の長さ$b,b-a$、幅1の台形だから、二等分条件は $$\displaystyle \frac{b+(b-a)}2=\frac12,$$ すなわち$a=2b-1$。 (2) U=(0,b)。ℓがOPと交わるなら、その交点をD=(d,0)とすると$d\le t$、また(1)と傾き$a<0$から$b<1/2$。このときOUDの面積は$bd/2\le bt/2<t/4$で二等分にならない。よってℓはAPと交わる。交点を$X=(x,1-x/t)$とすると頂点A側の三角形の面積条件から $$\displaystyle (1-b)x/2=t/4,\qquad x=\frac{t}{2(1-b)}.$$ Xがℓ上にある条件と$a=2b-1$を合わせると $$2b^2-(2t+4)b+t+1=0.$$ 二根のうち、$t>0$では正号の根は1より大きく辺OA上にない。従って $$\displaystyle b(t)=\frac{t+2-\sqrt{t^2+2t+2}}2.$$ (3) 直接代入で$\displaystyle \lim\limits _{t\to0+}b(t)=1-1/\sqrt2$。有理化すると $$\displaystyle b(t)=\frac{t+1}{t+2+\sqrt{t^2+2t+2}},$$ 分子分母をtで割れば$\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}b(t)=1/2$。