4金沢大学 2011年 数学 第4問解答・解説

解答 (1) $$\displaystyle \int_n^{n+1}\frac{1}{x}\,dx=\log(n+1)-\log n.$$ また、$n<x<n+1$ では $$\displaystyle \frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}<\frac{1}{n}.$$ これを$n\le x\le n+1$ の範囲で積分すると、区間の長さが1であるから $$\displaystyle \frac{1}{n+1}<\int_n^{n+1}\frac{1}{x}\,dx<\frac{1}{n},$$ したがって所要の不等式を得る。

(2) (1)の右側を $k=1,\ldots,n$ に適用して加えると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\bigl(\log(k+1)-\log k\bigr)<\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1k,$$ よって $\displaystyle \log(n+1)<\sum\limits _{k=1}^{n}1/k$。また、(1)の左側を $n=k-1$ として $k=2,\ldots,n$ に適用し加えると $$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n}\frac1k<\sum\limits _{k=2}^{n}\bigl(\log k-\log(k-1)\bigr)=\log n.$$ したがって $$\displaystyle \log(n+1)<\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1k=1+\sum\limits _{k=2}^{n}\frac1k<1+\log n.$$

(3) $\displaystyle H_k=\sum\limits _{j=1}^{k}1/j$ とおくと、分母は $$\displaystyle e\,e^{1/2}e^{1/3}\cdots e^{1/k}=\prod\limits _{j=1}^{k}e^{1/j}=e^{H_k}$$ である。(2)の上側から、$k\ge2$ では $H_k<1+\log k$ なので $$\displaystyle \frac{1}{e^{H_k}}>e^{-1-\log k}=\frac1{ek}.$$ $k=1$ の項は $1/e$ である。したがって $n\ge2$ では少なくとも $k=2$ の項で不等号が真に厳しくなり、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{e\,e^{1/2}e^{1/3}\cdots e^{1/k}} >\frac1e\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1k >\frac1e\log(n+1),$$ ここで最後の不等式は(2)の下側による。