自治医科大学 2010年数学第3問解答・解説

数と式

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1問題

自治医科大学2010年度第3問

$a+b+c=0,\quad a^2+b^2+c^2=2$ であるとき、 $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ の値を求めよ。ただし、 $a,b,c$ は実数とする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

二次対称式を置き、条件式の展開とその二乗の展開から目的の式に結び付ける。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$1\quad$ （選択記号：カ）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$q=ab+bc+ca$ とおく。条件 $a+b+c=0$ 、 $a^2+b^2+c^2=2$ より $0=(a+b+c)^2=2+2q,$ したがって $q=-1$ である。一方、展開して $q^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)$ となる。 $a+b+c=0$ なので、求める値は $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2=1.$ 例えば $(a,b,c)=(1,0,-1)$ は二つの条件を満たし、式の値も $1$ となることを確認できる。

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