2自治医科大学 2010年 数学 第2問解答・解説

$s_1=\alpha+\beta+\gamma$、$s_2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$、$s_3=\alpha\beta\gamma$ とおく。解と係数の関係から $$s_1=-1,\qquad s_2=-4,\qquad s_3=-6.$$ また、展開すると $$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma=s_1^3-3s_1s_2.$$ したがって、求める値は $$s_1^3-3s_1s_2+20=(-1)^3-3(-1)(-4)+20=-1-12+20=7.$$ 検算として、$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=s_1^2-2s_2=9$ だから、元の方程式より $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=-9+4(-1)-18=-31$。よって $-31-3(-6)+20=7$ となる。