9自治医科大学 2010年 数学 第9問解答・解説

3直線をそれぞれ $L_1,L_2,L_3$ とし、$L_1$と$L_2$の交点をA、$L_2$と$L_3$の交点をB、$L_3$と$L_1$の交点をCとする。各連立方程式を解くと、$$\displaystyle A\left(1-\frac{a}{4},-5+\frac{a}{4}\right),\quad B\left(-\frac{a+b}{8},\frac{5b-3a}{8}\right),\quad C\left(-1-\frac{b}{4},-3+\frac{b}{4}\right)$$ を得る。重心の座標は3頂点の座標の平均だから、$$\displaystyle \frac{x_A+x_B+x_C}{3}=-\frac{a+b}{8},\qquad \frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-64-a+7b}{24}.$$ これが $(-1,1)$ に等しいので、$$a+b=8,\qquad -a+7b=88.$$ よって $a=-4,b=12$ であり、求める値は $a+b=8$ である（対応する選択肢記号はラ）。このとき3頂点は $(2,-6),(-1,9),(-4,0)$ で相異なるので、条件を満たす三角形が実際にできる。