8自治医科大学 2010年 数学 第8問解答・解説

$a\geq1$ より $a>0$ であり、$\displaystyle x=\frac{1+a^2}{2a}$ から $$\displaystyle x+1=\frac{(a+1)^2}{2a},\qquad x-1=\frac{(a-1)^2}{2a}\geq0.$$ したがって平方根は実数である。また $a+1>0$、$a-1\geq0$ なので $$\displaystyle \sqrt{x+1}=\frac{a+1}{\sqrt{2a}},\qquad \sqrt{x-1}=\frac{a-1}{\sqrt{2a}}.$$ これらを代入すると $$\displaystyle a\left(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}\right) =a\left(\frac{2/\sqrt{2a}}{2a/\sqrt{2a}}\right)=1.$$ この式変形は $a=1$ の場合も成り立ち、元の分母は $\sqrt2>0$ である。