自治医科大学 2010年数学第7問解答・解説

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1問題

自治医科大学2010年度第7問

$p$ が奇数のとき、 $\displaystyle \left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2p}+\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{2p}$ の値を求めよ。ただし、 $i^2=-1$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

各複素数を二乗してから指数をp乗にまとめ、pが奇数であることを使う。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$0\quad$ （選択記号：ア）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^2=\frac{(1+i)^2}{2}=i, \qquad \left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^2=\frac{(1-i)^2}{2}=-i.$ したがって、求める式は $i^p+(-i)^p$ である。 $p$ は奇数なので $(-i)^p=(-1)^pi^p=-i^p$ 。よって $i^p+(-i)^p=0.$

この問題で使う考え方

複素数の四則演算

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