17自治医科大学 2010年 数学 第17問解答・解説

正弦定理より、$a=2R\sin A$、$b=2R\sin B$、$c=2R\sin C$ とおける。加法定理から $$\displaystyle b-c=2R(\sin B-\sin C)=4R\cos\frac{B+C}{2}\sin\frac{B-C}{2}=4R\sin\frac A2\sin\frac{B-C}{2}.$$ したがって、条件式は $$\displaystyle 2R\sin A=8R\sin\frac A2\cos\frac A2\sin\frac{B-C}{2}=4R\sin A\sin\frac{B-C}{2}$$ となる。三角形なので $R>0$、$0<A<\pi$ であり、$\sin A>0$。よって両辺を $2R\sin A$ で割ると $$\displaystyle 1=2\sin\frac{B-C}{2}.$$ ゆえに $\displaystyle 12\sin\frac{B-C}{2}=6$。