24自治医科大学 2010年 数学 第24問解答・解説

$p,q$ は正の整数である。 まず $p\ge3$ とすると、 $$x^2-px+p^2-2p$$ の判別式は $p(8-3p)<0$ だから、この二次式はすべての実数 $x$ で正である。したがって $x>0$ では $f(x)=x(x^2-px+p^2-2p)+q>0$ となり、正の解をもたない。よって $p=1$ または $2$。 $p=1$ なら $$f(x)=x^3-x^2-x+q=(x-1)^2(x+1)+(q-1)\ge0\quad(x>0),$$ となる。等号が成り立つのは $q=1,x=1$ の場合だけなので、異なる2つの正の解をもつことはない。したがって $p=2$。このとき $$\displaystyle f(x)=x^3-2x^2+q=(x-\tfrac43)^2(x+\tfrac23)+q-\tfrac{32}{27}.$$ $q$ は正の整数なので、$q\ge2$ なら右辺は正であり正の解をもたない。よって $q=1$ である。実際、 $$f(x)=x^3-2x^2+1=(x-1)(x^2-x-1)$$ の解は $1$、$(1+\sqrt5)/2$、$(1-\sqrt5)/2$ で、異なる2つの正の解と1つの負の解をもつ。したがって条件を満たすのは $(p,q)=(2,1)$ であり、$pq=2$。