群馬大学 2009年数学第4問解答・解説

数と式指数関数・対数関数

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1問題

群馬大学2009年度第4問

正の数 A, B, C が $A \leq B \leq C$ , $\displaystyle B \geq \frac{1}{10}$ , ABC = 1 を満たすとき, 次の問いに答えよ。

(1) $\log_{10}A + \log_{10}C \leq 1$ を証明せよ。

(2) $\log_{10}A \leq 0$ , $\log_{10}C \geq 0$ を証明せよ。

(3) $(1 + \log_{10} A)(1 + \log_{10} B)(1 + \log_{10} C) \leq 1$ を証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) ログの性質より $\quad \log_{10}A+\log_{10}C=-\log_{10}B\leq1\quad$ 。 (2) $\quad A\leq1\leq C\quad$ 。 (3) $\quad (1+\log_{10}A)(1+\log_{10}B)(1+\log_{10}C)\leq1\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$x=\log_{10}A,\ y=\log_{10}B,\ z=\log_{10}C$ とおく。 $ABC=1$ 、 $A\le B\le C$ 、 $B\ge 1/10$ から $x+y+z=0,\qquad x\le y\le z,\qquad y\ge-1.$ (1) $x+z=-y\le1$ 。

(2) 仮に $x>0$ なら三数はすべて正となり和0に反する。仮に $z<0$ なら三数はすべて負となり矛盾する。したがって $x\le0\le z$ 。

(3) $xz\le0$ 、 $1+y\ge0$ に注意して $(1+x)(1+y)(1+z)=(1+y)(1-y+xz)=1-y^2+(1+y)xz\le1.$ これが求める不等式である。

この問題で使う考え方

対数変換
符号判定

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