3群馬大学 2009年 数学 第3問解答・解説

$OA=a,\,OB=b,\,OC=c\ (a,b,c>0)$ とおく。互いに垂直な三辺をもつので、三平方の定理から $$AB^2=a^2+b^2,\quad BC^2=b^2+c^2,\quad AC^2=a^2+c^2.$$

(1) 面積と $\angle ABC=60^\circ$ より $$\displaystyle 3\sqrt3=\frac12 AB\cdot BC\sin60^\circ, \qquad AB\cdot BC=12.$$ 三角形 $ABC$ に余弦定理を使うと $$AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cos60^\circ =AB^2+BC^2-12.$$ したがって $$AB^2+BC^2-AC^2=12.$$ 上の三平方の式で左辺は $2b^2$ だから $b^2=6$。$b>0$ より $OB=\sqrt6$。

(2) $AB\cdot BC=12$ を2乗し、(1)の $b^2=6$ を代入すると $$(a^2+6)(c^2+6)=144.$$ 展開して $$144=(ac)^2+6(a^2+c^2)+36 \ge (ac)^2+12ac+36=(ac+6)^2,$$ ここでは $a^2+c^2\ge2ac$ を使った。$ac>0$ なので $ac+6\le12$、すなわち $ac\le6$。四面体の体積は $$\displaystyle V=\frac16abc=\frac{\sqrt6}{6}ac\le\sqrt6.$$ $a=c=\sqrt6$ とすれば $b=\sqrt6$ で、$AB=BC=CA=2\sqrt3$。このとき面積は $3\sqrt3$、角 $B$ は $60^\circ$ となり、条件を満たす。よって上限は実現し、最大値は $\sqrt6$。