5東北大学 2009年 数学 第5問解答・解説

行列の積を成分ごとに計算する。与式より $$APA=\begin{pmatrix}pa^2+qbc&b(pa+qd)\\c(pa+qd)&pbc+qd^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p^2&0\\0&q^2\end{pmatrix}.$$ ここで $r=pa+qd$ とおく。もし $r=0$ なら、$q>0$ より $d=-pa/q$ である。また左上の成分の等式から $bc=(p^2-pa^2)/q$ だから、 $$\displaystyle ad-bc=-\frac{pa^2}{q}-\frac{p^2-pa^2}{q}=-\frac{p^2}{q}<0,$$ となる。これは仮定 $ad-bc>0$ に反する。したがって $r\ne0$ であり、非対角成分の等式 $br=cr=0$ から $b=c=0$ を得る。 このとき $A$ は対角行列なので、 $$P^3A=\begin{pmatrix}p^3a&0\\0&q^3d\end{pmatrix}=AP^3,$$ となり、(1) が示された。さらに、与式の対角成分を比較すると $pa^2=p^2$ および $qd^2=q^2$ だから、$p,q>0$ より $a=\pm\sqrt p$、$d=\pm\sqrt q$ である。行列式条件は $ad>0$ となるので、$a,d$ は同符号である。よって $$A=\begin{pmatrix}\sqrt p&0\\0&\sqrt q\end{pmatrix}\quad\text{または}\quad A=-\begin{pmatrix}\sqrt p&0\\0&\sqrt q\end{pmatrix}.$$ どちらも与式と $ad-bc>0$ を満たすので、これらがすべての解である。

(1) 行列積を成分ごとに比較し、まず A が対角行列であることを示す。(2) 対角成分の平方と行列式の正の条件から、二つの符号が一致することが分かる。したがって、いずれも符号が同じである次の二通りである。 $$A=\begin{pmatrix}\sqrt p&0\\0&\sqrt q\end{pmatrix}\quad\text{または}\quad A=-\begin{pmatrix}\sqrt p&0\\0&\sqrt q\end{pmatrix}.$$