3東京大学 2009年 数学 第3問解答・解説

各回に出る4色の列を等確率な列として数える。

(1) 5回の結果に4色すべてが含まれるなら、出現数は1色が2回、残り3色が1回ずつである。2回出る色を選ぶ方法が4通り、その色の位置を選ぶ方法が$\displaystyle \binom52$通り、残り3色を並べる方法が$3!$通りなので、該当列は$\displaystyle 4\binom52 3!=240$通り。全列は$4^5$通りだから、5回で4色がそろう確率は$240/4^5=15/64$。

操作(A)の5回はLに、操作(B)の5回はRに別々に入る。両方に4色がそろうには、それぞれの5回の列に4色すべてが現れればよい。二つの列の確率を掛けて$$P_1=(15/64)^2=225/4096.$$

(2) 操作(C)では、各色の初出時はLに入り、同じ色の2回目以降はRに入る。従って5回後にLに4色すべてがあることと、5回の結果に4色すべてが現れることは同値である。よって$$P_2=240/4^5=15/64.$$

(3) 操作(C)を10回行ったあとLにもRにも4色すべてがあるためには、各色が少なくとも2回ずつ出ている必要がある。4色の出現数は合計10なので、その型は$(4,2,2,2)$または$(3,3,2,2)$。

型$(4,2,2,2)$は4回出る色の選び方が4通りで、各型の列数は$10!/(4!(2!)^3)=18900$。型$(3,3,2,2)$は3回出る2色の選び方が$\displaystyle \binom42=6$通りで、各型の列数は$10!/((3!)^2(2!)^2)=25200$。従って該当列は$$4\cdot18900+6\cdot25200=226800$$通りであり、$$P_3=226800/4^{10}=14175/65536.$$

最後に$$\displaystyle \frac{P_3}{P_1}=\frac{14175}{65536}\cdot\frac{4096}{225}=\frac{63}{16}.$$