II慶應義塾大学 2002年 数学 第II問解答・解説

状態を、粒子がない確率 $Q_n$、1頂点にだけ粒子がある確率 $P_n$、2頂点に粒子がある確率に分ける。2粒子の配置が隣接頂点上である確率を $A_n$、向かい合う頂点上である確率を $O_n$ とする。粒子数は増えず、初期粒子数は2個なので、これらの3分類で全状態を尽くす。

(1) あ・い

時刻1までに、頂点1の粒子を確率 $\displaystyle \frac12$ で取り除くと1粒子、確率 $\displaystyle \frac14$ ずつで頂点2または4へ移すと隣接する2粒子となる。よって $$\displaystyle P_1=\frac12,\qquad A_1=\frac12,\qquad O_1=Q_1=0.$$

1粒子状態では次の1秒で、確率 $\displaystyle \frac12$ で空、確率 $\displaystyle \frac12$ で1粒子のままである。隣接2粒子状態では、選ばれた小さい番号の粒子を取り除く確率 $\displaystyle \frac12$、もう一方の粒子のいる隣接頂点へ移して合体する確率 $\displaystyle \frac14$ により1粒子となる。残りの確率 $\displaystyle \frac14$ では空き隣接頂点へ移り、向かい合う2粒子となる。したがって $$\displaystyle P_2=\frac12P_1+\frac34A_1 =\frac14+\frac38=\frac58,\qquad Q_2=\frac12P_1=\frac14.$$ よって、あは $\displaystyle \frac58$、いは $\displaystyle \frac14$。

(2) う・え・お・か

向かい合う2粒子状態では、選ばれた粒子の隣はどちらも空である。粒子を取り除く確率 $\displaystyle \frac12$ で1粒子となり、隣へ移す確率の合計 $\displaystyle \frac12$ で隣接2粒子となる。よって各時刻の遷移は $$\displaystyle A_{n+1}=\frac12O_n,\qquad O_{n+1}=\frac14A_n,$$ $$\displaystyle P_{n+1}=\frac12P_n+\frac34A_n+\frac12O_n,\qquad Q_{n+1}=Q_n+\frac12P_n.$$ 最初の時刻の状態 $\displaystyle A_1=\frac12,\ O_1=0$ から、2時刻ごとに $$\displaystyle A_{2m-1}=\frac{1}{2\cdot8^{m-1}}=\frac4{8^m},\qquad O_{2m}=\frac1{8^m},$$ また $O_{2m-1}=A_{2m}=0$ である。

$U_m=P_{2m-1}$ とおくと、 $$\displaystyle P_{2m}=\frac12U_m+\frac34A_{2m-1} =\frac12U_m+\frac3{8^m}.$$ さらに $$\displaystyle U_{m+1}=P_{2m+1} =\frac12P_{2m}+\frac12O_{2m} =\frac14U_m+\frac2{8^m}, \qquad U_1=\frac12.$$ この漸化式を解くと $$\displaystyle U_m=\frac{10}{4^m}-\frac{16}{8^m}.$$ 実際、$m=1$ で $\displaystyle U_1=\frac12$ となり、右辺は漸化式に代入して次の項の同じ式を与える。したがって $$\displaystyle P_{2m-1}=\frac{10}{4^m}-\frac{16}{8^m},\qquad P_{2m}=\frac5{4^m}-\frac5{8^m}.$$

空状態の確率は、全確率から1粒子状態と2粒子状態を引いて求める。奇数時刻には2粒子状態の確率が $\displaystyle A_{2m-1}=\frac4{8^m}$、偶数時刻には $\displaystyle O_{2m}=\frac1{8^m}$ だから、 $$\displaystyle Q_{2m-1}=1-P_{2m-1}-A_{2m-1} =1-\frac{10}{4^m}+\frac{12}{8^m},$$ $$\displaystyle Q_{2m}=1-P_{2m}-O_{2m} =1-\frac5{4^m}+\frac4{8^m}.$$ よって、うは $\displaystyle \frac{10}{4^m}-\frac{16}{8^m}$、えは $\displaystyle \frac5{4^m}-\frac5{8^m}$、おは $\displaystyle 1-\frac{10}{4^m}+\frac{12}{8^m}$、かは $\displaystyle 1-\frac5{4^m}+\frac4{8^m}$。

最終答案

- あ：$\displaystyle \frac58$ - い：$\displaystyle \frac14$ - う：$\displaystyle \frac{10}{4^m}-\frac{16}{8^m}$ - え：$\displaystyle \frac5{4^m}-\frac5{8^m}$ - お：$\displaystyle 1-\frac{10}{4^m}+\frac{12}{8^m}$ - か：$\displaystyle 1-\frac5{4^m}+\frac4{8^m}$

使用した解法

粒子数による状態分け、推移確率の漸化式、および有限等比型漸化式を用いた。