熊本大学 2018年数学第2問解答・解説

1問題

熊本大学2018年度第2問

$m,n$ を整数とする。 $xy$ 平面上の4点 $(m,n),(m-1,n),(m-1,n-1),(m,n-1)$ を頂点にもつ正方形を $R_{(m,n)}$ と表す。初めに1辺の長さが1のさいころが $R_{(1,1)}$ に1の目を上に置かれている。1枚の硬貨を投げて表が出たらさいころを $x$ 軸方向に $+1$ だけ転がして移し，裏が出たら $y$ 軸方向に $+1$ だけ転がして移す。以下の問いに答えよ。ただし，さいころの向かい合う面の目の数の和は7であるとする。

(問1) 硬貨を5回投げたあとにさいころが $R_{(3,4)}$ の位置にある確率を求めよ。

(問2) 硬貨を2回投げたあとにさいころの6の目が上にあるという条件の下で，硬貨を5回投げたあとにさいころが $R_{(3,4)}$ の位置にある条件付き確率を求めよ。

(問3) 硬貨を5回投げたとき，初めから5回目の移動までにさいころの6通りの目がすべて上に現れる確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

問1
5/16
問2
1/4
問3
5/16

3解答

解答を見る途中式つきの解答

独立結果: (問1) Hが $2$ 回、Tが $3$ 回なので $\displaystyle \binom52/2^5=\frac5{16}$ 。 (問2) 2投後に6が上なのは HH または TT。各場合の残り成功率は $\displaystyle \frac18,\quad\frac38$ で等重み、平均 $\displaystyle \frac14$ 。 (問3) 初期上面と5移動後までの6観察で、面状態の遷移 H: $(U,D,E,W,N,S)\to(W,E,U,D,N,S)$ 、T: $(U,D,E,W,N,S)\to(S,N,E,W,U,D)$ 。全6面が一度ずつ上面になる列は $\displaystyle \frac{10}{32}$ 、したがって $\displaystyle \frac5{16}$ 。

採用結果照合: 問1の位置移動の組合せ、問2で6が上になる HH/TT 条件と残り投げ方、問3の全6面列10通りは採用結果に一致。問題文と画像は読めるが、PDF binaryがないことから原本PDF全体の一致・対象者選択は確定しない。

範囲・方法: 高校数学の範囲。単元: 数学A 場合の数と確率, さいころの向きの状態遷移。方法: 組合せ, 条件付き確率, 状態遷移の全列挙。テーマ: 格子上を転がるさいころの位置と上面状態。

1問題

2答え

3解答

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