III慶應義塾大学 2000年 数学 第III問解答・解説

(1) $s^2+t^2=1$ なので $$\ell(A\boldsymbol{x})^2=a^2s^2+b^2t^2\le b^2(s^2+t^2)=b^2.$$ $a<b$ より等号は $s=0,t^2=1$ のときに限る。従って $s^2=0,t^2=1,m(A)=b$。

(2) この行列では $$\displaystyle \ell(A\boldsymbol{x})^2=(\frac23s+t)^2+(\frac23t)^2 =\frac19(s^2+t^2)+\frac13(s+2t)^2.$$ $5(s^2+t^2)-(s+2t)^2=(2s-t)^2\ge0$ と $s^2+t^2=1$ より $(s+2t)^2\le5$ で、等号は $(s,t)$ が $(1,2)$ に比例するときに成り立つ。従って最大値の二乗は $\displaystyle \frac19+\frac53=\frac{16}{9}$、最大化する単位ベクトルは符号を除き $\displaystyle (\frac1{\sqrt5},\frac2{\sqrt5})$。よって $\displaystyle s^2=\frac15,t^2=\frac45,m(A)=\frac43$。

(3) 命題は正しくない。$a=b=c=1$ として $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ を取る。単位ベクトル $(s,t)$ に対して $$\ell(A\boldsymbol{x})^2=s^2+2st+2t^2.$$ $\displaystyle \lambda=\frac{3+\sqrt5}{2}$ とおくと $(\lambda-1)(\lambda-2)=1$ より $$\displaystyle \lambda(s^2+t^2)-\ell(A\boldsymbol{x})^2=\frac{((\lambda-1)s-t)^2}{\lambda-1}\ge0,$$ 等号を満たす単位ベクトルも存在する。従って $\displaystyle m(A)^2=\lambda=\frac{3+\sqrt5}{2}$。一方、$A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$。$\mu=3+2\sqrt2$ とすると $\mu-5=4/(\mu-1)$ なので $$\displaystyle \mu(s^2+t^2)-\ell(A^2\boldsymbol{x})^2=\frac{((\mu-1)s-2t)^2}{\mu-1}\ge0,$$ ここでも等号を満たす単位ベクトルがある。よって $m(A^2)=\sqrt\mu=1+\sqrt2$。これは $m(A)^2=(3+\sqrt5)/2$ と異なるため、反例となる。

定義通り単位円上で二乗ノルムを最大化する。(1)では大きい対角成分の軸で最大になる。(2)では二次式を平方和に分けて最大値と等号条件を求める。(3)も同様に二つの具体的な二次式の最大を計算し、両辺が異なる例を示す。