3金沢大学 2008年 数学 第3問解答・解説

(1) $\ell:y=ax+1$を円の式に代入すると$x\{(1+a^2)x+2a\}=0$。$A$と異なる交点は $$\displaystyle P=\left(-\frac{2a}{1+a^2},\frac{1-a^2}{1+a^2}\right).$$ 単位円の接線は$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OX}=1$で表される（半径$OP$と接線が垂直）。従って $$\boxed{m:-2ax+(1-a^2)y=1+a^2}.$$ (2) $y=-2$をそれぞれの直線に代入して $$Q=(-3/a,-2),\qquad R=((a^2-3)/(2a),-2).$$ $a>0$より$R$は$Q$の右にあるから $$\displaystyle QR=\frac{a^2+3}{2a}=\frac12\left(a+\frac3a\right)\ge\sqrt3.$$ 不等式は$(a-\sqrt3)^2\ge0$から従い、等号は$a=\sqrt3$。最小値は$\boxed{\sqrt3}$。 (3) このとき$$Q=(-\sqrt3,-2),\quad R=(0,-2),\quad AQ=2\sqrt3,\quad AR=3.$$ 角の二等分線と$QR$の交点を$D$とすると、角の二等分線定理により$QD:DR=2\sqrt3:3$。内分点の式から $$\displaystyle D=\left(-\frac{3\sqrt3}{2\sqrt3+3},-2\right).$$ 直線$AD$の傾きは $$\displaystyle \frac{-2-1}{-3\sqrt3/(2\sqrt3+3)}=2+\sqrt3.$$ よって求める直線は$\boxed{y=(2+\sqrt3)x+1}$。