2金沢大学 2008年 数学 第2問解答・解説

被積分関数の多項式を $$f_a(x)=x^3-3ax^2+2a^2x=x(x-a)(x-2a)$$ とし、その原始関数を $$\displaystyle F_a(x)=\frac{x^4}{4}-ax^3+a^2x^2$$ とする。したがって $F_a'(x)=f_a(x)$、$\displaystyle F_a(1)=\frac14-a+a^2$、$\displaystyle F_a(a)=\frac{a^4}{4}$、$F_a(2a)=0$ である。

$\displaystyle 0\le a\le\frac12$ では $0\le x\le1$ 内で $f_a$ が負なのは $a\le x\le2a$ だから、負の部分を反転して $$\displaystyle S(a)=F_a(1)-2\{F_a(2a)-F_a(a)\}=\frac14-a+a^2+\frac{a^4}{2}.$$ $\displaystyle \frac12\le a\le1$ では負の区間は $a\le x\le1$ なので $$\displaystyle S(a)=F_a(1)-2\{F_a(1)-F_a(a)\}=\frac{a^4}{2}-a^2+a-\frac14.$$ $a\ge1$ では $0\le x\le1$ 上で $f_a\ge0$ となり、 $$\displaystyle S(a)=F_a(1)=a^2-a+\frac14.$$ 境界 $\displaystyle a=\frac12,1$ では隣り合う式の値が一致する。よって $$\displaystyle S(a)=\begin{cases} \frac14-a+a^2+\frac{a^4}{2},&0\le a\le\frac12,\\ \frac{a^4}{2}-a^2+a-\frac14,&\frac12\le a\le1,\\ a^2-a+\frac14,&a\ge1. \end{cases}$$

$\displaystyle 0\le a\le\frac12$ では $$S'(a)=-1+2a+2a^3,\qquad S''(a)=2+6a^2>0.$$ したがって $S'$ はaが大きくなると値も必ず大きくなり、$S'(0)=-1<0$、$\displaystyle S'(\frac12)=\frac14>0$ より、内部にただ一つの停留点があり、そこは最小点である。最大値は端点で比較すればよく、$\displaystyle S(0)=\frac14$、$\displaystyle S(\frac12)=\frac1{32}$ から、最大値は $\displaystyle \frac14$（$a=0$）である。

因数分解により符号が変わる区間をaの範囲ごとに定め、原始関数で負部分を補正して絶対値積分を求めた。指定区間では二階微分が正なので導関数は一度だけ0となり、その停留点は最小点。端点値を比べて最大を確定した。