1金沢大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) $n=1$では与えられた式の右辺が $A_1=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ と一致する。$A_n$の式を仮定すると、 $$\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2^{n-1}&2^{n-1}+3^{n-1}\\0&3^{n-1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2^n&2^n+3^n\\0&3^n\end{pmatrix}$$ となるため、数学的帰納法で成立する。

(2) $M=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$、$D=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$とおく。差 $B_n-A_n=C$ が一定なら、漸化式から $C=MC-D$、したがって $(I-M)C=-D$ である。$C=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とおいて成分を比較すると $a+c=1$、$b+d=3$、$c=1$、$d=2$ となるから、 $$C=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}.$$ この行列は実際に $C=MC-D$ を満たす。

(3) $p=2^{n-1}$、$q=3^{n-1}$ とおくと、 $$B_n=A_n+C=\begin{pmatrix}p&p+q+1\\1&q+2\end{pmatrix},\qquad \det B_n=p(q+2)-(p+q+1)=(p-1)(q+1).$$ $n=1$ では $p=1$ で $\det B_1=0$。$n\ge2$ では $p-1>0$、$q+1>0$ なので $\det B_n>0$ である。2次正方行列は行列式が0でないとき、かつそのときに限り逆行列を持つから、逆行列を持たないのは $B_1$ のみである。

作者の計算・結論は独立解答と一致する。(1) は初項と帰納ステップで確認できる。(2) は差の一定性から C=MC−D を得て成分を比較する。(3) の行列式は (2^{n−1}−1)(3^{n−1}+1) であり、n=1で0、n≧2で正。したがって $B_1$ は特異、以後の項は逆行列を持つ。