III慶應義塾大学 2008年 数学 第III問解答・解説

解答

(1) $f'(x)\ne 0$ のとき，$P$ における接線の傾きは $f'(x)$ であるから，法線の方程式は $$\displaystyle y-f(x)=-\frac{1}{f'(x)}(X-x)$$ である。$y=0$ とすると $X=x+f(x)f'(x)$ を得る。$f'(x)=0$ のとき法線は $X=x$ であり，その $x$ 軸との交点は $R(x,0)$ なので同じ式が成り立つ。したがって $$\boxed{a(x)=x+f(x)f'(x)}.$$

(2) $a(x)-x=f(x)f'(x)>0$ である。三角形 $PQR$ の底辺の長さは $a(x)-x$，高さは $f(x)$ だから $$\displaystyle m=\frac12 f(x)^2f'(x).$$ よって $(f(x)^3)'=3f(x)^2f'(x)=6m$ である。これを積分し，$f(0)=k$ を用いると $f(x)^3=6mx+k^3$ となる。$f(x)>0$ より $$\boxed{f(x)=\sqrt[3]{k^3+6mx}}.$$ ここで $k>0$ かつ $m>0$ であり，この式は元の定義域上で $k^3+6mx>0$ を満たす。実際，微分すると $f'(x)=2m/(k^3+6mx)^{2/3}>0$ で，面積条件にも戻る。

(3) (1) から $f(x)f'(x)=(\alpha-1)x+\beta$ である。したがって $$(f(x)^2)'=2f(x)f'(x)=2(\alpha-1)x+2\beta.$$ 両辺を $0$ から $x$ まで積分し，$f(0)=k$ を用いると $$f(x)^2=(\alpha-1)x^2+2\beta x+k^2.$$ ゆえにグラフ上の点 $(x,y)$ は $$(1-\alpha)x^2-2\beta x+y^2=k^2$$ を満たす。これは二次の方程式であり，元のグラフはそのうち $y>0$ かつ元の定義域に対応する部分である。

(4) $A=1-\alpha$ とおくと，(3) の式は $$\displaystyle A\left(x-\frac{\beta}{A}\right)^2+y^2=k^2+\frac{\beta^2}{A}$$ となる（楕円の場合は $A>0$）。$k>0$ なので右辺は正である。横方向・縦方向の半径の平方はそれぞれ $$\displaystyle a_0^2=\frac{k^2+\beta^2/A}{A},\qquad b_0^2=k^2+\frac{\beta^2}{A}.$$ $x$ 軸上に相異なる2焦点をもつには，横軸が長軸でなければならない。これは $0<A<1$，すなわち $0<\alpha<1$ と同値である。この範囲では焦点距離 $c$ は $$\displaystyle c^2=a_0^2-b_0^2 =\frac{\alpha\bigl((1-\alpha)k^2+\beta^2\bigr)}{(1-\alpha)^2}.$$ 中心の $x$ 座標は $\beta/(1-\alpha)$ だから，焦点の $x$ 座標は $$\displaystyle \boxed{\frac{\beta}{1-\alpha}\pm \frac{\sqrt{\alpha\bigl((1-\alpha)k^2+\beta^2\bigr)}}{1-\alpha}}.$$ なお $\alpha=0$ は円となって焦点が一致するため，「2つの焦点」を相異なる2点とする通常の高校範囲の扱いでは除く。