II鳥取大学 2022年 数学 第II問解答・解説

直線 $AB$ の傾きは $$\displaystyle \frac{1/b-1/a}{b-a}=-\frac1{ab}$$ だから、その方程式は $x+ab y=a+b$。また $b-a>0$ なので $$\displaystyle |AB|=\sqrt{(b-a)^2+\left(\frac1b-\frac1a\right)^2}=\frac{b-a}{ab}\sqrt{1+a^2b^2}.$$ 点 $T(t,1/t)$ から直線 $AB$ までの距離は $$\displaystyle \frac{\left|t+\frac{ab}{t}-(a+b)\right|}{\sqrt{1+a^2b^2}}.$$ ここで $a<t<b$ より $(t-a)(t-b)/t<0$ であり、距離は $$\displaystyle \frac{(t-a)(b-t)}{t\sqrt{1+a^2b^2}}.$$ 従って三角形の面積は $$\displaystyle f(t)=\frac{b-a}{2ab}\left(a+b-t-\frac{ab}{t}\right).$$ $t>0$ について $$\displaystyle t+\frac{ab}{t}-2\sqrt{ab}=\frac{(t-\sqrt{ab})^2}{t}\ge0,$$ 等号は $t=\sqrt{ab}$ のときに限る。よって $f(t)$ は $t=\sqrt{ab}$ で最大となる。さらに $0<a<b$ から $a<\sqrt{ab}<b$ なので、この最大値は定義域内で実現する。

(1) $f(t)=M$ となるのは $t=\sqrt{ab}$。

(2) $a=1,b=2$ を代入すると $$\displaystyle M=\frac{2-1}{2\cdot1\cdot2}(\sqrt2-1)^2=\frac{(\sqrt2-1)^2}{4}=\frac{3-2\sqrt2}{4}.$$

直線ABからTまでの距離を用いて面積を表すと、$f(t)$は正の定数倍の$\displaystyle a+b-t-\frac{ab}{t}$となる。恒等式 $\displaystyle t+\frac{ab}{t}-2\sqrt{ab}=\frac{(t-\sqrt{ab})^2}{t}$ によって最大点を定め、$a=1,\quad b=2$を代入する。