IV鳥取大学 2022年 数学 第IV問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad a_1\text{ は正の整数だから }a_1\geq1.\\ a_n\geq n\text{ と仮定する。}a_{n+1},a_n\text{ は整数で }a_{n+1}>a_n\text{ だから }a_{n+1}\geq a_n+1\geq n+1.\\ \text{よって数学的帰納法により、すべての正整数 }n\text{ について }a_n\geq n\text{ である。}\\[4pt] \text{(2)}\quad\text{(1)より }a_1\geq1,\ a_2\geq2,\text{ また }n\geq3\text{ なら }a_n\geq n\text{ である。}\\ \text{任意の }N\geq3\text{ に対し、}n\geq3\text{ では }\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\text{ だから、}\\ \sum\limits _{n=1}^{N}\frac{1}{a_n^2} \leq 1+\frac14+\sum\limits _{n=3}^{N}\frac{1}{n^2} <1+\frac14+\sum\limits _{n=3}^{N}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) =\frac74-\frac1N<\frac74.\\ \text{したがって部分和は有界な単調増加列であり、級数は収束する。極限を取ると}\\ \displaystyle\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n^2}\leq\frac74<2, \text{ となる。}$$