9千葉大学 2022年 数学 第9問解答・解説

(1) 合成関数の微分より $\displaystyle f'(x)=1-\frac{r\sin x\cos x}{(1+\sin^2 x)^{3/2}}$。$r=1$のとき $\displaystyle \sin x\cos x=\frac12\sin2x\le\frac12$、また分母は$1$以上なので $\displaystyle f'(x)\ge\frac12>0$。平均値の定理より、$f$はつねに増加する。

(2) $\displaystyle g(x)=\frac{\sin x\cos x}{(1+\sin^2 x)^{3/2}}$ とおくと $f'=1-rg$。$u=\sin^2x\ (0\le u\le1)$ と置けば $\displaystyle g^2=H(u)=\frac{u(1-u)}{(1+u)^3}$。微分すると $\displaystyle H'(u)=\frac{u^2-4u+1}{(1+u)^4}$。分子の根は$2\pm\sqrt3$で、$0\le u\le1$の範囲内にあるのは$u_0=2-\sqrt3$。端点で$H=0$、導関数は$u_0$の前で正・後で負なので最大は$u_0$でとる。代入して $\displaystyle H(u_0)=\frac{\sqrt3}{18}=\frac1{6\sqrt3}$。さらに $\sin^2 x=u_0$かつ$\sin x\cos x>0$となる$x$があるから、$g$の最大値は$\displaystyle M=\frac1{\sqrt{6\sqrt3}}$で実現する。

$\displaystyle 0<r<\frac1M$なら $f'(x)=1-rg(x)\ge1-rM>0$である。従ってこの範囲の$r$すべてでfは増加する。もし$\displaystyle C>\frac1M$なら$\displaystyle \frac1M<r<C$を満たす$r$を選べ、その$r$では$g=M$となる$x$で$f'=1-rM<0$となる。よって$C$は条件を満たさない。したがって最大値は $\displaystyle c=\frac1M=\sqrt{6\sqrt3}$。