2東京医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)　 速度は $(x',y')=(t^3,\sqrt3t^4)$ なので速さは $\sqrt{t^6+3t^8}=t^3\sqrt{1+3t^2}\quad(t\ge0)$。 $$t=4\text{ の速さ}=4^3\sqrt{1+3\cdot4^2}=64\cdot7=448。$$

(2)　 加速度は $(x'',y'')=(3t^2,4\sqrt3t^3)$。$t=3$ では $$\sqrt{27^2+(108\sqrt3)^2}=\sqrt{35721}=189。$$

(3)　 $0\le t\le1$ では速さは $t^3\sqrt{1+3t^2}$ だから、道のりは $$\displaystyle \int_0^1t^3\sqrt{1+3t^2}\,dt。$$ $u=1+3t^2$ と置くと $t^3dt=(u-1)du/18$、積分範囲は $1\le u\le4$ である。よって $$\displaystyle \frac1{18}\int_1^4(u^{3/2}-u^{1/2})\,du =\frac1{18}\left[\frac25u^{5/2}-\frac23u^{3/2}\right]_1^4 =\frac{58}{135}。$$ 空欄は $\text{アイウ}=448,\text{エオカ}=189,\text{キク}=58,\text{ケコサ}=135$。