東京医科大学 2022年数学第4問解答・解説

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1問題

東京医科大学2022年度第4問

四次方程式 $x^{4}-8x^{3}+cx^{2}+4x-6=0\qquad(c\text{ は定数})$ の四つの解を $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とする。二つの解 $\alpha$ と $\beta$ の積が $\alpha\beta=\sqrt{2}$ であるとき， $\gamma^{2}\delta^{2}=\boxed{\text{アイ}}$ であり， $\displaystyle \gamma+\delta=\boxed{\text{ウ}}-\frac{\sqrt{2}}{\boxed{\text{エ}}}$ である。また，このとき $\displaystyle c=\frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \gamma^2\delta^2=18;\quad \gamma+\delta=6-\frac{\sqrt2}{2};\quad c=\frac{23}{2}.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 四次式を $x^4-e_1x^3+e_2x^2-e_3x+e_4$ と比べると $\alpha+\beta+\gamma+\delta=8,\quad e_2=c,\quad e_3=-4,\quad \alpha\beta\gamma\delta=-6$ $\alpha\beta=\sqrt2$ より $\gamma\delta=-6/\sqrt2=-3\sqrt2$ 、したがって $\gamma^2\delta^2=18$ 。 $S=\alpha+\beta,T=\gamma+\delta$ とおくと $S+T=8$ かつ $-4=e_3=\alpha\beta T+\gamma\delta S=\sqrt2T-3\sqrt2S$ 従って $T-3S=-2\sqrt2$ 。これと $S+T=8$ を解くと $T=6-\sqrt2/2$ 。また $\displaystyle c=e_2=\alpha\beta+\gamma\delta+ST=-2\sqrt2+\left(2+\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(6-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{23}{2}$ よって $\text{アイ}=18,\text{ウ}=6,\text{エ}=2,\text{オカ}=23,\text{キ}=2$ 。

この問題で使う考え方

解と係数の関係

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