4大阪医科薬科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) $r=\sqrt a+\sqrt b$ とおくと、仮定より $r$ は正の有理数である。また $$\displaystyle \sqrt a-\sqrt b=\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{a-b}{r}$$ は有理数である。和 $\sqrt a+\sqrt b$ と差 $\sqrt a-\sqrt b$ がともに有理数だから、その半和・半差である $\sqrt a,\sqrt b$ も有理数である。

(2) $r=\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c$ とおく。仮定より $r$ は正の有理数であり、 $$a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2=(r-\sqrt c)^2 =r^2+c-2r\sqrt c$$ だから $$\displaystyle r\sqrt c+\sqrt{ab}=\frac{r^2+c-a-b}{2}\quad\text{（有理数）}.$$ ここで $r\sqrt c=\sqrt{r^2c}$ であり、$r^2c$ と $ab$ は正の有理数である。(1)を $\sqrt{r^2c}+\sqrt{ab}$ に適用すると $r\sqrt c$ は有理数となる。$r$ は正の有理数なので $\sqrt c$ も有理数である。すると $\sqrt a+\sqrt b=r-\sqrt c$ は有理数だから、再び (1) を適用して $\sqrt a,\sqrt b$ も有理数となる。