1岩手医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

問1　 x>0 であるから，t=$\log_2$ x とおくと t は実数全体を動き，x=2^t である。n=4 のとき $$\displaystyle f(x)=4t^2+12t+10=4\left(t+\frac32\right)^2+1\ge 1.$$ 等号は t=-$\displaystyle \frac32$ のときに成り立つので，このとき x=2^{-3/2}=$\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}$ である。したがって最小値は 1 である。

問2　 n=0 のとき f(x)=12t+6 であり，t=-$\displaystyle \frac12$，すなわち x=2^{-1/2} がただ1つの解である。n$\ne$0 のとき，t に関する二次方程式 $$nt^2+12t+n+6=0$$ がただ1つの実数解をもつための必要十分条件は判別式が 0 となることである。よって $$144-4n(n+6)=0\quad\text{すなわち}\quad n^2+6n-36=0,$$ したがって n=-3$\pm$3$\sqrt5$ となるが，これは整数ではない。ゆえに求める整数は n=0 である。

問3　 t=$\log_2$ x とおくと，x=2^k であることは t=k と同値である。したがって $$\displaystyle f(2^k)=n(k^2+1)+12k+6=0, \qquad n=-\frac{12k+6}{k^2+1}.$$ k は整数である。|k|$\ge$13 なら k^2+1>|12k+6| である（k$\ge$13 では差 k^2-12k-5 が正，k$\le$-13 では差 k^2-12|k|+7 が正であり，いずれも絶対値が大きくなるほど増加する）。このとき |n|<1 となるので整数 n は 0 に限られるが，n=0 とすると 12k+6=0 となり，整数 k は存在しない。よって -12$\le$ k$\le$12 だけを調べればよい。各 k に対する n の値は次表のとおりである。 $$\displaystyle \begin{array}{c|rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} k&-12&-11&-10&-9&-8&-7&-6&-5&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline n&\frac{138}{145}&\frac{63}{61}&\frac{114}{101}&\frac{51}{41}&\frac{18}{13}&\frac{39}{25}&\frac{66}{37}&\frac{27}{13}&\frac{42}{17}&3&\frac{18}{5}&3&-6&-9&-6&-\frac{21}{5}&-\frac{54}{17}&-\frac{33}{13}&-\frac{78}{37}&-\frac95&-\frac{102}{65}&-\frac{57}{41}&-\frac{126}{101}&-\frac{69}{61}&-\frac{30}{29} \end{array}$$ 整数 n は 3,-6,-9 の3種類であり，その最大値は 3 である。

問4　 t=$\log_2$ x とする。n=0 なら t=-$\displaystyle \frac12$ である。n$\ne$0 のとき，実数解が存在する条件は $$144-4n(n+6)\ge0\quad\text{すなわち}\quad n^2+6n-36\le0.$$ この二次不等式の解は -3-3$\sqrt5$$\le$ n$\le$-3+3$\sqrt5$ であり，整数 n は -9,-8,$\ldots$,3 である。$R_n=\sqrt{36-n(n+6)}$ とおくと，解は $$\displaystyle t=\frac{-6\pm R_n}{n}.$$ 負の n では大きい方の解は $\displaystyle \frac{6+R_n}{-n}$ である。n=-1 のときこれが 6+$\sqrt{41}$ となる。n$\le$-2 では R_n=$\sqrt{45-(n+3)^2}$$\le$$\sqrt{45}$<7 だから，大きい方の解は $\displaystyle \frac{6+R_n}{-n}<\frac{13}{2}$ である。一方，正の n では R_n<7 より大きい方の解 $\displaystyle \frac{-6+R_n}{n}<1$ であり，n=0 の解も -$\displaystyle \frac12$ である。したがって，すべての場合で t の最大値は n=-1 のときの 6+$\sqrt{41}$ である。指数関数 2^t は t とともに増加するので，実数解 x の最大値は $$x=2^{6+\sqrt{41}}$$ である。