4産業医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) 漸化式の特解を$Cq^n$とおくと、$Cq^{n+1}=pCq^n+q^n$より$C(q-p)=1$、すなわち$C=1/(q-p)$である。従って $$\displaystyle a_n=Kp^{n-1}+\frac{q^n}{q-p}.$$ 初項から$K=a_1-q/(q-p)=q$となる。よって $$\displaystyle a_n=qp^{n-1}+\frac{q^n}{q-p}.$$ 実際、$n=1$で与えられた初項と一致し、この式から$a_{n+1}=pa_n+q^n$も成り立つ。

(2) (1)より $$\displaystyle \frac{a_n}{q^n}=\left(\frac pq\right)^{n-1}+\frac1{q-p}.$$ $p>q$なら$n=1$で$a_1/q=1+1/(q-p)<1$となるので条件を満たさない。

$q>p$とし、$d=q-p$とおく。$0<p/q<1$なので、$(p/q)^{n-1}$は$n$とともに減少し0に近づく。$d=1$なら $$\displaystyle \frac{a_n}{q^n}=\left(\frac pq\right)^{n-1}+1\geq1$$ がすべての$n$で成り立つ。$d\geq2$ならこの比は$1/d<1$に近づくため、十分大きい$n$では1未満になる。従って必要十分条件は $$q-p=1,\quad\text{すなわち }q=p+1.$$

(3) この条件のもとで $$\displaystyle \frac{a_n}{q^n}=1+\left(\frac{p}{p+1}\right)^{n-1}.$$ ここで$0<p/(p+1)<1$だから、この値は$n=1$で最大となり、最大値は$2$。

(4) $q=10$かつ(2)の条件より$p=9$。よって $$a_n=10\cdot9^{n-1}+10^n.$$ $$a_3=10\cdot9^2+10^3=1810<10^4,\qquad a_4=10\cdot9^3+10^4=17290>10^4.$$ 式の二項はともに$n$とともに増加するので、$a_n<10^4$を満たす最大の$n$は3である。