5大阪大学 2002年 数学 第5問解答・解説

$t=\sin\alpha,\ c=\cos\alpha,\ u(x)=\sqrt{1-x^2}$ とおく。円 $C_2$ と $x$ 軸の交点は $x=\pm c$ であり、$-c\le x\le c$ では $u(x)\ge t$。このとき同じ $x$ で、円 $C_1$ 内の $y$ は $-u\le y\le u$、円 $C_2$ 内の $y$ は $t-u\le y\le t+u$ の範囲を動く。従って $D_1$ の縦断面は $u\le y\le u+t$、$D_2$ の縦断面は $-u\le y\le t-u\le0$ である。これらを $x$ 軸のまわりに回転した断面積は、それぞれ $$\pi\{(u+t)^2-u^2\},\qquad \pi\{u^2-(u-t)^2\}.$$ よって $$\displaystyle V_1(\alpha)=\pi\int_{-c}^{c}\{2tu(x)+t^2\}\,dx,\qquad V_1(\alpha)-V_2(\alpha)=\pi\int_{-c}^{c}2t^2\,dx=4\pi c t^2.$$ また $$\displaystyle \int_{-c}^{c}u(x)\,dx =\left[\frac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x}{2}\right]_{-c}^{c} =ct+\frac\pi2-\alpha.$$ 従って $$\displaystyle \begin{aligned} V_1(\alpha) &=\pi\left\{2t\left(ct+\frac\pi2-\alpha\right)+2ct^2\right\}\\ &=4\pi\cos\alpha\sin^2\alpha+\pi\sin\alpha(\pi-2\alpha),\\ V_1(\alpha)-V_2(\alpha)&=4\pi\cos\alpha\sin^2\alpha. \end{aligned}$$ $F(\alpha)=V_1(\alpha)-V_2(\alpha)$ とおくと $$F'(\alpha)=4\pi\sin\alpha(2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha) =4\pi\sin\alpha(2-3\sin^2\alpha).$$ $0<\alpha<\pi/2$ では $\sin\alpha>0$ であり、$\sin\alpha$ は増加する。よって $\sin^2\alpha<2/3$ で $F'>0$、$\sin^2\alpha>2/3$ で $F'<0$。最大となるのは $\sin^2\alpha=2/3$ のときで、その値は $$\displaystyle F(\alpha)=4\pi\cdot\frac1{\sqrt3}\cdot\frac23=\frac{8\pi}{3\sqrt3}.$$