6弘前大学 2013年 数学 第6問解答・解説

$$\begin{aligned} \text{(1)}\quad A^2&=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&d^2+bc\end{pmatrix},\quad T(A)A=\begin{pmatrix}a(a+d)&b(a+d)\\c(a+d)&d(a+d)\end{pmatrix},\\ D(A)E&=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}. \end{aligned}$$ したがって、各成分を引き算すると $$A^2-T(A)A+D(A)E= \begin{pmatrix} a^2+bc-a(a+d)+ad-bc&b(a+d)-b(a+d)\\ c(a+d)-c(a+d)&d^2+bc-d(a+d)+ad-bc \end{pmatrix}=O.$$

$$\text{(2)}\quad D(X)=xy-1<0\text{であるための必要十分条件は} xy<1,\qquad T(X)=x+y>0\text{であるための必要十分条件は} y>-x.$$ よって求める領域は $$y>-x,\qquad xy<1.\qquad\text{これらを同時に満たす点 $(x,y)$ の領域である。}$$ 直線 $y=-x$ の上側のうち、第一象限では双曲線 $y=1/x$ より下側を塗る。第二・第四象限で $y>-x$ を満たす点は $xy\le0<1$ なので全て領域に含まれる。直線 $y=-x$ と双曲線 $xy=1$ は境界として含まれない。正の座標軸上の点は原点を除いて含まれる。

$$\text{(3)}\quad D(X)=xy-1=0$$ は、$X$ が逆行列をもたないことから従う。(1)を $A=X$ に適用すると $$X^2-T(X)X+D(X)E=O$$ より $X^2=tX$（ただし $t=T(X)=x+y$）。したがって $k\ge1$ について帰納的に $X^k=t^{k-1}X$ であり、 $$T(X^{2n})=t^{2n-1}T(X)=t^{2n}.$$ さらに $xy=1$ より $$t^2=(x+y)^2=(x-y)^2+4xy=(x-y)^2+4\ge4.$$ よって $T(X^{2n})=(t^2)^n\ge4^n$。等号は $x=y=1$ または $x=y=-1$ のとき成立するから、最小値は $4^n$ である。

水色部分が求める領域。破線で示す直線および第一象限の双曲線は含まない。正の座標軸は含むが原点は含まない。表示窓の端は領域の境界ではない。