5弘前大学 2013年 数学 第5問解答・解説

交点を求めるため $t=e^x>0$ とおく。曲線と直線 $y=4$ の差は $$\displaystyle 4-e^x-\frac6{e^x+1} =\frac{(e^x-1)(2-e^x)}{e^x+1}.$$ したがって交点は $e^x=1,2$、すなわち $x=0,\ln2$。また $0<x<\ln2$ では $1<e^x<2$ なので、直線 $y=4$ が曲線より上にある。この区間が両者に囲まれる部分である。

$$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x-\ln(1+e^x)\right)=\frac1{1+e^x}$$ より $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\ln2}\left(4-e^x-\frac6{e^x+1}\right)\,dx\\ &=\left[-2x-e^x+6\ln(1+e^x)\right]_0^{\ln2}\\ &=(-2\ln2-2+6\ln3)-(-1+6\ln2)\\ &=\boxed{6\ln3-8\ln2-1} =\boxed{\ln\frac{729}{256}-1}. \end{aligned}$$

指数置換で直線との交点を特定し、差の符号から有界領域の上下を確認する。指数・対数関数の原始関数を用いて$0\le x\le\ln2$ の範囲の面積を積分する。