4弘前大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) 対数の積を和に直すと $$f(x)=(1-x)\log(1-x)+(1+x)\log(1+x)\qquad(-1<x<1).$$ 微分して $$\displaystyle f'(x)=-\log(1-x)-1+\log(1+x)+1 =\log\frac{1+x}{1-x}.$$ $-1<x<0$ では $0<(1+x)/(1-x)<1$ だから $f'(x)<0$。一方、$0<x<1$ では $(1+x)/(1-x)>1$ だから $f'(x)>0$。よって $x=0$ で最小となり、 $$f(0)=0.$$ したがって最小値は $\boxed{0}$ である。

(2) $t=\cos x$ とおく。$0\le x\le2\pi$ で $t$ は $-1\le t\le1$ の範囲のすべての値をとり、 $$\cos2x=2t^2-1,\qquad \cos3x=4t^3-3t.$$ 従って $$\displaystyle g(x)=t+\frac12(2t^2-1)+\frac13(4t^3-3t) =p(t),\qquad p(t)=\frac43t^3+t^2-\frac12.$$ $$p'(t)=4t^2+2t=2t(2t+1)$$ より、区間内の停留点は $\displaystyle t=-\frac12,0$。端点と停留点での値は $$\displaystyle p(-1)=-\frac56,\quad p\!\left(-\frac12\right)=-\frac5{12},\quad p(0)=-\frac12,\quad p(1)=\frac{11}{6}.$$ これらを比べると、 $$\displaystyle \boxed{\min g=-\frac56}\quad(t=-1,\ x=\pi),\qquad \boxed{\max g=\frac{11}{6}}\quad(t=1,\ x=0,2\pi).$$

(1) $f(x)=(1-x)\ln(1-x)+(1+x)\ln(1+x)$ と展開でき、$\displaystyle f'(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}$。$-1<x<0$ ではこの比は $1$ 未満で $f'<0$、$0<x<1$ では $1$ より大きく $f'>0$。したがって $x=0$ で最小となり $f(0)=0$。(2) $t=\cos x$ とおくと $-1\le t\le1$ を全てとり、$\cos2x=2t^2-1$、$\cos3x=4t^3-3t$ から $\displaystyle g(x)=p(t)=\frac43t^3+t^2-\frac12$。$p'(t)=2t(2t+1)$ で停留点は $\displaystyle t=-\frac12,0$。端点・停留点の値は $\displaystyle p(-1)=-\frac56$、$\displaystyle p(-\frac12)=-\frac5{12}$、$\displaystyle p(0)=-\frac12$、$\displaystyle p(1)=\frac{11}{6}$。よって最小 $\displaystyle -\frac56$ は $t=-1\ (x=\pi)$、最大 $\displaystyle \frac{11}{6}$ は $t=1\ (x=0,2\pi)$ で達成。