3東邦大学 2003年 数学 第3問解答・解説

(1) 線分AE上の点Pは、$E(-5,-6,3)$ から $A(5,-3,6)$ へ進む割合を $t$ として $$P=(-5+10t,-6+3t,3+3t),\qquad -5+10t=a.$$ したがって $\displaystyle t=\frac{a+5}{10}$ である。同様に $$Q=(-5+10t,-6+3t,-3-3t).$$ よって $P,Q$ の $y$ 座標は等しく、$z$ 座標の差から $$\displaystyle PQ=(3+3t)-(-3-3t)=6+6t=\frac{3(a+15)}5.$$

(2) 同じ割合 $t$ で線分CG,DHと交わる点は $$R=(-5+10t,6-3t,-3-3t),\qquad S=(-5+10t,6-3t,3+3t)$$ である。$PQ$ は $z$ 軸に平行で、その長さは $6+6t$。$PS$ は $y$ 軸に平行で、その長さは $12-6t$。したがって切り口は長方形であり、面積は $$\displaystyle (6+6t)(12-6t)=\frac{9}{25}(a+15)(15-a)=\frac{9}{25}(225-a^2)$$ である。

(3) $x=a$ の切り口の面積を $S(a)$ とおく。$-5\leq a\leq5$ だから、立体の体積は切り口の面積を積分して $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\int_{-5}^{5}S(a)\,da\\ &=\int_{-5}^{5}\frac{9}{25}(225-a^2)\,da\\ &=\left[81a-\frac{3a^3}{25}\right]_{-5}^{5}=780. \end{aligned}$$