4大阪大学 2006年 数学 第4問解答・解説

三角形 $OAB$ の重心の位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac13\overrightarrow{OA}+\frac13\overrightarrow{OB}.$$ $\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OQ}=b\overrightarrow{OB}$ より、 $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3a}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{3b}\overrightarrow{OQ}.$$ $a,b>0$ なので、右辺の係数はともに正である。点 $X$ が三角形 $OPQ$ の内部にあることは、$\overrightarrow{OX}=s\overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{OQ}$ と表したとき $s>0,\ t>0,\ s+t<1$ と同値である。したがって、辺上を含めないという条件のもとで $$\displaystyle G\text{ が三角形 }OPQ\text{ の内部にある} \quad\text{、すなわち}\quad \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}<1.$$ $a,b>0$ を用いて分母を払うと、必要十分条件は $$a+b<3ab$$ となる。

次に、$0<a<1,\ 0<b<1$ のもとで領域を求める。不等式を $b$ について整理すると $$b(3a-1)>a.$$ 右辺は正だから $3a-1>0$、すなわち $\displaystyle a>\frac13$ であり、 $$\displaystyle b>\frac{a}{3a-1}.$$ さらに $b<1$ を満たす点が存在するには $$\displaystyle \frac{a}{3a-1}<1 \quad\text{、すなわち}\quad a>\frac12$$ でなければならない。もともと $a<1$ だから、求める範囲は $$\displaystyle \frac12<a<1,\qquad \frac{a}{3a-1}<b<1.$$ すなわち、$(a,b)$ 平面の開いた単位正方形内で、曲線 $\displaystyle b=\frac{a}{3a-1}$ の上側にある部分である。曲線の該当部分は $\displaystyle (\frac12,1)$ と $\displaystyle (1,\frac12)$ を結ぶ。等号の場合は $G$ が辺上にあるため、曲線と端点は含まれず、また $a=1$、$b=1$ も含まれない。

重心の位置ベクトルをOP,OQの係数で表し、三角形OPQの内部条件を係数の正値および係数和が1未満であることとして使う。正のa,bで分母を払うと必要十分条件が得られ、各領域境界の開閉は原文の内部条件と0<a,b<1から定まる。