1東京大学 2006年 数学 第1問解答・解説

以下、$\boldsymbol p_i=\overrightarrow{OP_i}$ とする。条件は $\displaystyle \boldsymbol p_1+\boldsymbol p_3=\frac32\boldsymbol p_2$、$\displaystyle \boldsymbol p_2+\boldsymbol p_4=\frac32\boldsymbol p_3$ である。

(1) $P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2)$ とおく。$x_1y_1=x_2y_2=1$ より $x_1,x_2\ne0$、$y_i=1/x_i$ である。第1のベクトル条件から $$\displaystyle x_3=\frac32x_2-x_1,\qquad y_3=\frac{3}{2x_2}-\frac1{x_1}.$$ $t=x_2/x_1\ne0$ とおけば $$\displaystyle x_3y_3=\left(\frac32t-1\right)\left(\frac{3}{2t}-1\right)=\frac{13}{4}-\frac32\left(t+\frac1t\right).$$ もし $P_3$ も $xy=1$ 上にあれば、これを 1 と等置して $t+1/t=3/2$、すなわち $\displaystyle t^2-\frac32t+1=0$ を得る。しかしこの二次方程式の判別式は $\displaystyle \frac94-4=-\frac74<0$ で、実数解をもたない。$t$ は実数なので矛盾し、$P_3$ は曲線上にない。

(2) $\|\boldsymbol p_1\|=\|\boldsymbol p_2\|=\|\boldsymbol p_3\|=1$ である。第1の条件を $\displaystyle \boldsymbol p_3=\frac32\boldsymbol p_2-\boldsymbol p_1$ と書き、長さの二乗を計算すると $$\displaystyle 1=\|\boldsymbol p_3\|^2=\frac94\|\boldsymbol p_2\|^2+\|\boldsymbol p_1\|^2-3\boldsymbol p_1\cdot\boldsymbol p_2=\frac{13}{4}-3\boldsymbol p_1\cdot\boldsymbol p_2,$$ よって $\boldsymbol p_1\cdot\boldsymbol p_2=3/4$。また $\displaystyle \boldsymbol p_1+\boldsymbol p_3=\frac32\boldsymbol p_2$ の両辺と $\boldsymbol p_2$ の内積をとると $$\displaystyle \boldsymbol p_1\cdot\boldsymbol p_2+\boldsymbol p_3\cdot\boldsymbol p_2=\frac32,$$ したがって $\boldsymbol p_2\cdot\boldsymbol p_3=3/4$。第2の条件から $\displaystyle \boldsymbol p_4=\frac32\boldsymbol p_3-\boldsymbol p_2$ なので $$\displaystyle \|\boldsymbol p_4\|^2=\frac94\|\boldsymbol p_3\|^2+\|\boldsymbol p_2\|^2-3\boldsymbol p_2\cdot\boldsymbol p_3=\frac94+1-\frac94=1.$$ よって $P_4$ は円周 $x^2+y^2=1$ 上にある。

位置ベクトルの漸化関係を成分と内積に分けて調べる。(1)はxy=1の条件から座標積を比で表し、実数二次方程式の判別式で否定する。(2)は単位円上の長さと内積からP4の長さを示す。