3東京大学 2006年 数学 第3問解答・解説

まず、$Q=(q,1)$ とおく。直線 $OQ$ は反射軸 $\ell$ に垂直であり、その傾きは $1/q$ だから $$\displaystyle \frac1q\,\alpha=-1.$$ よって $q=-\alpha>0$ である。反射軸 $\ell$ は $OQ$ の垂直二等分線なので、中点 $(-\alpha/2,1/2)$ を通り、傾きが $\alpha$ である。したがって $$\displaystyle \ell:\quad y=\alpha x+\frac{1+\alpha^2}{2}.$$

次に $R=(r,rk)$、$k=\tan\theta$ とおく。$R$ は第1象限にあるので $r>0$ である。線対称の性質より、$PR$ は $\ell$ に垂直で、その中点は $\ell$ 上にある。したがって $$\displaystyle rk-p=-\frac r\alpha,\qquad p+rk=\alpha r+1+\alpha^2.$$ 第1式から $p+rk=2p-r/\alpha$ だから、これを第2式に代入すると $$\displaystyle r\left(\alpha+\frac1\alpha\right)=2p-1-\alpha^2, \qquad r=\frac{\alpha(2p-1-\alpha^2)}{1+\alpha^2}.$$ また $$\displaystyle rk=p-\frac r\alpha =\frac{(p+1)\alpha^2-p+1}{1+\alpha^2}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\tan\theta=k=\frac{(p+1)\alpha^2-p+1}{\alpha(2p-1-\alpha^2)}}. \tag{1}$$

(2) の条件で、原点を通る $\ell$ の垂線の傾きは $-1/\alpha=\tan(\theta/3)$ である。$u=\tan(\theta/3)$ とおけば $0<u<1/\sqrt3$、$\alpha=-1/u$ であり、(1) は $$\displaystyle \tan\theta =u\,\frac{(p+1)-(p-1)u^2}{1-(2p-1)u^2}$$ となる。一方、加法定理と二倍角の公式から $$\displaystyle \tan\theta=\tan(3\cdot\theta/3) =\frac{3u-u^3}{1-3u^2} =u\,\frac{3-u^2}{1-3u^2}.$$ これがすべての $0<u<1/\sqrt3$ で成り立つ。$u\to0+$ とすると $p+1=3$、よって $p=2$ が必要である。さらに $p=2$ とすれば上の (1) の式は恒等的に $\tan\theta=u(3-u^2)/(1-3u^2)$ となり、この条件を満たす。

実際、任意の $0<\theta<\pi/2$ に対して $u=\tan(\theta/3)$、$\alpha=-1/u$ とし、$Q=(-\alpha,1)$ の中点を通る傾き $\alpha$ の直線を $\ell$ とすれば、$O$ は $Q$ に移る。$u^2<1/3$ より $\alpha^2>3$ なので、$p=2$ のとき $$\displaystyle r=\frac{\alpha(3-\alpha^2)}{1+\alpha^2}>0.$$ また $R$ の傾きは $\tan\theta>0$ だから $R$ は第1象限にある。このように条件を満たす点 $P=(0,2)$ が存在する。