東京大学 2006年数学第2問解答・解説

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1問題

東京大学2006年度第2問

コンピュータの画面に，記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき，各操作で，直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は，それまでの経過に関係なく，pであるとする。最初に，コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い，記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に，記号○がn個出る確率をPₙとする。ただし，記号○がn個出た段階で操作は終了する。

(1) P₂をpで表せ。

(2) n≧3のとき，Pₙをpとnで表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$P_2=(1-p)p+(1-p)p^2+(1-p)^3$ 。 $n\geq3$ では $P_n=(1-p)p^{n-1}(1+p)+(n-1)(1-p)^3p^{n-2}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$q=1-p$ とする。最初は×で、○がn個に達する前には追加の×は高々1個。 (1) n=2では、追加×なしの列の確率は $qp$ 、最初の○より前に追加×が出る列××○○は $pqp=qp^2$ 、最初の○の後に出る列×○×○は $q^3$ 。従って $P_2=qp+qp^2+q^3.$ (2) n≧3。追加×なしなら確率 $qp^{n-1}$ 。○に変わる前に追加×が出る場合は $qp^n$ 。追加×がk個目の○の後、 $1\le k\le n-1$ に現れると、遷移確率は $q^3$ 、継続する○の確率は $p^{n-2}$ 。その位置はn−1通りで、互いに排反。よって $P_n=qp^{n-1}+qp^n+(n-1)q^3p^{n-2}.$ $q=1-p$ を戻せば所求式。

この問題で使う考え方

記号列の分類
独立な遷移確率の積
排反事象の和

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