2大阪大学 2006年 数学 第2問解答・解説

$u=(x+y)/2,\ v=(x-y)/2$ と置くと、$y=x$ は $v=0$、$y=-x$ は $u=0$ となる。Aの座標を $(u_0,v_0)=((a+b)/2,(a-b)/2)$ とする。Aはどちらの直線上にもないので $u_0v_0\ne0$。 直線 $m=OA$ の場合は $P=P'=O$ で、ベクトル条件より $Q=-A$。新座標で $Q=(-u_0,-v_0)$ だから $UV=u_0v_0$ となる。

以下 $m\ne OA$ とする。mが二軸と $P=(r,0),P'=(0,s)$ で交わるとき、$r,s\ne0$。Aがm上にある条件は $$\displaystyle \frac{u_0}{r}+\frac{v_0}{s}=1$$ である。ベクトル条件からQの $(u,v)$ 座標を $(U,V)=(r-u_0,s-v_0)$ と書ける。よって $$UV=(r-u_0)(s-v_0)=rs-u_0s-v_0r+u_0v_0=u_0v_0,$$ ただし最初の条件を $rs=u_0s+v_0r$ と書き換えた。 したがってQは $UV=u_0v_0$ という双曲線上を動き、その漸近線は $U=0,V=0$、すなわち元の座標で $y=-x,y=x$ である。 実際、双曲線上の任意の有限点 $(U,V)$ に対し $r=U+u_0,s=V+v_0$ と置けば、$UV=u_0v_0$ からA、P、P'は一直線上にある（$r=s=0$ の場合は直線 $OA$）。従って軌跡全体がこの双曲線となる。元の座標では $$UV=u_0v_0 \quad\text{すなわち}\quad x^2-y^2=a^2-b^2,$$ その漸近線は $x^2-y^2=0$、つまり $y=x$ と $y=-x$ である。

座標を二直線の方向に合わせると、$y=x$と$y=-x$が座標軸になります。Aの座標を$(u_0,v_0)$、各軸との交点を$(r,0),(0,s)$とすると、Aが交点を結ぶ直線上にある条件が得られます。定義されたQの座標は$(r-u_0,s-v_0)$なので、その二成分の積が$u_0v_0$で一定です。従って軌跡は双曲線で、座標軸に対応する二直線が漸近線です。逆向きにも各双曲線上の点が元の直線$m$から得られることを確認しました。