1北海道大学 2006年 数学 第1問解答・解説

条件から $a=y-x,\ b=z-y,\ c=1-z$ とおくと、$a,b,c\ge 0$ であり、$x=1-a-b-c,\ y=1-b-c,\ z=1-c$ である。条件式に代入すると $4a+7b+9c=8$ を得る。

(1) $4a+7b+9c\le 9(a+b+c)$ より $\displaystyle a+b+c\ge \frac{8}{9}$ だから、$\displaystyle x=1-(a+b+c)\le \frac{1}{9}$。$\displaystyle a=b=0,\ c=\frac{8}{9}$ のとき等号が成り立つので、$x$ の最大値は $\displaystyle \frac{1}{9}$ である。

また、$7(b+c)\le 7b+9c\le 4a+7b+9c=8$ より $\displaystyle b+c\le \frac{8}{7}$。したがって $\displaystyle y=1-(b+c)\ge -\frac{1}{7}$。$\displaystyle a=0,\ b=\frac{8}{7},\ c=0$ のとき等号が成り立つので、$y$ の最小値は $\displaystyle -\frac{1}{7}$ である。

(2) $3x-y+z=3-3a-2b-3c$ である。$\displaystyle \frac{2}{7}(4a+7b+9c)\le 3a+2b+3c\le \frac{3}{4}(4a+7b+9c)$ より、$\displaystyle \frac{16}{7}\le 3a+2b+3c\le 6$。よって $\displaystyle -3\le 3x-y+z\le \frac{5}{7}$。

この両端を含む全ての値が実現することを確かめる。$0\le t\le 1$ に対し $\displaystyle a=2t,\ b=\frac{8}{7}(1-t),\ c=0$ とすれば $4a+7b+9c=8$ であり、$\displaystyle 3x-y+z=\frac{5}{7}-\frac{26}{7}t$ となる。これは $t$ が $0$ から $1$ まで動くとき $\displaystyle \frac{5}{7}$ から $-3$ までの全ての値をとる。したがって求める範囲は $\displaystyle -3\le 3x-y+z\le \frac{5}{7}$ である。