3東京医科歯科大学 2007年 数学 第3問解答・解説

$NA=BM^{-1}$ の $(1,1),(1,2)$ 成分から $d=6a+10c,\quad b=-10a-17c$。これを $ad-bc=1$ に代入すると $6a^2+20ac+17c^2=1$。 $3(6a^2+20ac+17c^2)=2(3a+5c)^2+c^2=3$ より $c$ は $-1,0,1$ のいずれか。$c=0$ は不可能。$c=1$ なら $3a+5=\pm1$ となり $a>0$ の整数でない。$c=-1$ なら $3a-5=\pm1$ であり、条件を満たすのは $a=2$。したがって $b=-3,d=2$。残りの成分も $6b+10d=2=-2c,\ 10b+17d=4=2a$ と一致する。(1) $6a^2+20ac+17c^2=6\cdot2^2+20\cdot2\cdot(-1)+17\cdot(-1)^2=1$。　(2) $2a^2+b^2=2\cdot4+9=17$。　(3) $(a,b,c,d)=(2,-3,-1,2)$。　(4) $X=2x+3y,\ Y=x+2y$ なので $X^2+2Y^2=6x^2+20xy+17y^2=59$。　(5) $3(6x^2+20xy+17y^2)=2(3x+5y)^2+y^2=177$。$u=3x+5y$ とおく。$|u|\leq9$ で、$177-2u^2$ が平方数となるのは $u^2=4$ または $64$。$u=\pm2$ のとき $y=\pm13$、条件「$x=(u-5y)/3$ が整数」を満たすのは $(x,y)=(-21,13),(21,-13)$。$u=\pm8$ のとき $y=\pm7$ で、整数条件を満たすのは $(x,y)=(-9,7),(9,-7)$。よって解は $(-21,13),(21,-13),(-9,7),(9,-7)$。