1島根大学 2007年 数学 第1問解答・解説

集合 $A=\{a^2+b^2\mid a,b\text{ は整数}\}$ とする。

(1) $x,y\in A$ とする。整数 $a,b,c,d$ を用いて $x=a^2+b^2,\ y=c^2+d^2$ と書けば $$xy=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\in A.$$

(2) $p\equiv1,\ q\equiv2\pmod5$ なので、$2p-q$ と $p+2q$ はともに5の倍数である。また $$(2p-q)^2+(p+2q)^2=5(p^2+q^2).$$ したがって $r=(2p-q)/5,\ s=(p+2q)/5$ は整数であり $$\displaystyle \frac{p^2+q^2}{5}=r^2+s^2\in A.$$

(3) $n\in A$ が5の倍数とする。$n=a^2+b^2$ と表す。平方数を5で割った余りは $0,1,4$ のいずれかであるから、$a^2+b^2\equiv0\pmod5$ となる余りの組は $$(0,0),\quad(1,4),\quad(4,1)$$ に限られる。

余りの組が $(0,0)$ の場合は $a=5c,\ b=5d$ と書け、 $$\displaystyle \frac n5=5(c^2+d^2)=(1^2+2^2)(c^2+d^2)\in A$$ となる。(1)で $A$ は積について閉じていることを示した。

余りの組が $(1,4)$ または $(4,1)$ の場合は、順序を入れ替え、必要なら符号を変えて $p\equiv1,\ q\equiv2\pmod5$ となる整数 $p,q$ を選べる。平方和は変わらず $p^2+q^2=n$ だから、(2)より $n/5\in A$。いずれの場合も $$\displaystyle \boxed{\frac n5\in A}.$$