4島根大学 2007年 数学 第4問解答・解説

曲線上では $p>0$。接線は $$\displaystyle y-(2\log p-1)=\frac2p(x-p),\qquad y=\frac2p x+2\log p-3.$$ したがって $x$ 軸との交点の座標は $\displaystyle p(\frac32-\log p)$。よって $$0<p<e^{3/2}.$$

さらに $P$ が第1象限なら $e^{1/2}<p<e^{3/2}$。$\displaystyle t=\log p-\frac12$ と置くと $0<t<1$、$OA=e^{t+1/2}(1-t)$、$P$ の高さは $2t$ だから $$\displaystyle S=e^{t+1/2}t(1-t),\qquad \frac{dS}{dt}=e^{t+1/2}(1-t-t^2).$$ $1-t-t^2$ は $0<t<1$ で減少し、唯一の零点 $t=(\sqrt5-1)/2$ で正から負に変わる。従って $p=e^{\sqrt5/2}$。このとき高さは $\sqrt5-1$ であり、水平断面の内半径は $e^{(y+1)/2}$、外半径は $p$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^{\sqrt5-1}\left(p^2-e^{y+1}\right)dy\\ &=\pi\left(e^{\sqrt5}(\sqrt5-1)-(e^{\sqrt5}-e)\right) =\pi\left((\sqrt5-2)e^{\sqrt5}+e\right). \end{aligned}$$

接線の切片条件をpの範囲に直し、第1象限条件と合わせて開区間を得る。対数変数tでは面積関数の導関数の符号が一度だけ変わるので最大は内部で達成する。最後は回転体の水平断面を環として積分し、曲線側を内半径、垂直線x=p側を外半径とする。