3島根大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1) 垂直二等分線上の点を$(x,y)$とすると$(x+1)^2+y^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$より $$\boxed{2(x_0+1)x+2y_0y=x_0^2+y_0^2-1}.$$ (2) $P=B+r(u,v)$、$u^2+v^2=1$と表す。直線$BP$上の$Q$を$Q=B+\lambda r(u,v)$とおき(1)に代入すると $$\displaystyle \lambda=\frac{r^2-4}{2r(r+2u)}.$$ $r>2$より分母は正で、$0<\lambda<1$である。実際、$\lambda$の最大値は$(r+2)/(2r)<1$である。従って$Q$は線分$BP$の内部にあり、$AQ=PQ$から$AQ+BQ=r$となる。 $AQ^2-BQ^2=4X$より $$\displaystyle BQ=\frac{r^2-4X}{2r},\qquad \lambda=\frac{r^2-4X}{2r^2}>0.$$ これと$Q-B=\lambda(P-B)$から $$\displaystyle \boxed{x_0=1+\frac{2r^2(X-1)}{r^2-4X},\qquad y_0=\frac{2r^2Y}{r^2-4X}}.$$ (3) $AQ+BQ=r$は焦点$A,B$、長軸の長さ$r$の楕円である。その方程式は $$\displaystyle \boxed{\frac{X^2}{r^2/4}+\frac{Y^2}{(r^2-4)/4}=1}.$$ 概形は原点を中心とし、頂点$(\pm r/2,0)$、$(0,\pm\sqrt{r^2-4}/2)$を通る楕円である。 逆にこの楕円上の$Q$を任意に取る。$Q\ne B$かつ$0<BQ<r$なので、半直線$BQ$上に$BP=r$となる$P$を取れる。このとき$PQ=r-BQ=AQ$より$Q$は$AP$の垂直二等分線上にあり、所要の交点となる。従って軌跡に欠ける点はない。