2島根大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) 正 $n$ 角形の外角の和は $2\pi$ であり、各外角は等しいから、$$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}.$$ $n\geq 7$ より $\displaystyle 0<\theta\leq\frac{2\pi}{7}<\frac{\pi}{3}$ である。余弦は $0\le\theta\le\pi$ の範囲で減少するので、$$\displaystyle \cos\theta>\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$

(2) $\vec u=\overrightarrow{A_1A_2},\;\vec v=\overrightarrow{A_2A_3},\;\vec w=\overrightarrow{A_3A_4}$ とおく。点の位置ベクトルを $\vec A_i,\vec B_i$ と書けば、条件から $\vec B_1=\vec A_1+\vec v$、$\vec B_2=\vec A_2+\vec w=\vec A_1+\vec u+\vec w$ である。したがって $$\overrightarrow{B_1B_2}=\vec B_2-\vec B_1=\vec u-\vec v+\vec w=\overrightarrow{A_1A_2}-\overrightarrow{A_2A_3}+\overrightarrow{A_3A_4}.$$

(3) 各辺の長さは $a$、隣り合う辺の向きのなす角は外角 $\theta$ である。よって $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec w=a^2\cos\theta$、$\vec v\cdot\vec v=a^2$ だから、(2)より $$\displaystyle \overrightarrow{B_1B_2}\cdot\overrightarrow{A_2A_3}=(\vec u-\vec v+\vec w)\cdot\vec v=2a^2\cos\theta-a^2=a^2\left(2\cos\frac{2\pi}{n}-1\right).$$

(4) $\vec u$ と $\vec w$ のなす角は $2\theta$ であるから、$\vec u\cdot\vec w=a^2\cos 2\theta$ である。(2)のベクトルの大きさの2乗を展開すると、$$\begin{aligned}|\overrightarrow{B_1B_2}|^2&=|\vec u-\vec v+\vec w|^2\\&=3a^2-2a^2\cos\theta+2a^2\cos 2\theta-2a^2\cos\theta\\&=a^2\{3-4\cos\theta+2(2\cos^2\theta-1)\}\\&=a^2(2\cos\theta-1)^2.\end{aligned}$$ (1)で $2\cos\theta-1>0$ と示したので、$$\displaystyle |\overrightarrow{B_1B_2}|=a(2\cos\theta-1)=a\left(2\cos\frac{2\pi}{n}-1\right).$$

外角の和から $\theta$ を求め、$\displaystyle \cos\theta>\frac12$ を示す。各点の位置ベクトルの差から $\overrightarrow{B_1B_2}$ を表し、辺の長さと角を用いて内積とベクトルの大きさを求める。