2東京大学 2004年 数学 第2問解答・解説

(1) 平方数の一の位は、$0^2,1^2,\ldots,9^2$ の一の位から $b=0,1,4,5,6,9$ に限られる。また、$a+b$ が偶数なので $a,b$ は同じ偶奇である。$N$ を平方数とすると $N\equiv 10a+b\pmod 4$ であり、平方数の4を法とする余りは0または1である。

もし $b$ が奇数なら $b\text{ は }1,5,9\text{ のいずれか}$ だから $b\equiv1\pmod4$、また $a$ も奇数である。したがって $$N\equiv 10a+b\equiv2+1\equiv3\pmod4,$$ となり、平方数の余りとして不可能である。よって $b$ は偶数であり、候補は $0,4,6$ である。このとき $a$ も偶数なので $N\equiv10a+b\equiv b\pmod4$。平方数の余りが0または1で、$b$ は偶数であるから $b\equiv0\pmod4$。候補のうちこれを満たすのは $b=0,4$ である。

(2) 4つの桁に共通する数字を $r$ とする。問題の平方数は3桁以上でもあり、10の位と1の位はともに $r$ だから、(1)より $r=0$ または $r=4$ である。もし $r=4$ なら、平方数 $N$ の下4桁は4444であり、$10000$ は16の倍数なので $$N\equiv4444\equiv12\pmod{16}.$$ しかし、平方数の16を法とする余りは $0,1,4,9$ のいずれかである（$0^2,1^2,\ldots,7^2$ の余りは $0,1,4,9,0,9,4,1$）。したがって $r=4$ は不可能であり、$r=0$ である。よって下4桁は0000となり、$10000\mid N$ が示された。