3高知大学 2013年 数学 第3問解答・解説

原文・入力

数学の確認

(1) $3^{20}=3{,}486{,}784{,}401>10^9$、$3^{25}=847{,}288{,}609{,}443<10^{12}$。整数の累乗値を直接照合した。

(2) $a=\log_{10}3$ と対数の単調性から、$10^9<3^{20}$ より $9<20a$、$3^{25}<10^{12}$ より $25a<12$。従って $\displaystyle 0.45=\frac9{20}<a<\frac{12}{25}=0.48$。

(3) $u(a)=15a-a^2$ とする。前問の範囲で

$u(a)-u(0.45)=(a-0.45)(14.55-a)>0$, $u(0.45)=6.5475>6.54$,

$u(0.48)-u(a)=(0.48-a)(14.52-a)>0$, $u(0.48)=6.9696<6.97$。

よって $6.54<15a-a^2<6.97$。

(4) 二つの不等式を平方完成すると円板条件になる。

$(x-(1+a))^2+(y-(4-2a))^2\leq(3-2a)^2$,

$(x-(6+3a))^2+(y-(3-a))^2\leq(4-a)^2$。

前問の $0.45<a<0.48$ より両半径は正。中心間距離をdとすると

$d^2=(5+2a)^2+(a-1)^2=5a^2+18a+26$, $r_1+r_2=7-3a>0$。

したがって

$d^2-(r_1+r_2)^2=-4a^2+60a-23=4(15a-a^2)-23>4\times6.54-23=3.16>0$。

両辺の距離は正なので $d>r_1+r_2$。二つの閉円板は交わらず、連立不等式を満たす組は存在しない。採用答案の結論と一致する。

範囲・表示・ラベル

常用対数の単調性、二次式の因数による大小比較、平方完成、円板の中心間距離を用いる。高校数学I・IIの範囲である。入力の厳密不等号、$a$ の範囲、円板が閉集合である点を確認した。

**答**

(1) $3^{20}>10^9$, $3^{25}<10^{12}$。

(2) $0.45<a<0.48$。

(3) $6.54<15a-a^2<6.97$。

(4) 両不等式を同時に満たす実数組は存在しない。