7長崎大学 2013年 数学 第7問解答・解説

円の半径は1であるから、円がすべらずに右へ$\theta$だけ回転すると、中心は$(0,1)$から$(\theta,1)$へ移る。また、円は時計回りに$\theta$だけ回転する。したがって、中心から$P$へのベクトル$(0,-2)$は$(-2\sin\theta,-2\cos\theta)$となり、$P$の座標は$$x=\theta-2\sin\theta,\qquad y=1-2\cos\theta\quad(0\leq\theta\leq\pi)$$である。　 (2)について、$$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=1-2\cos\theta$$であり、$0\leq\theta<\pi/3$では負、$\pi/3<\theta\leq\pi$では正である。よって$x$は$\theta=\pi/3$で最小となり、$\theta=0,\pi$の値を比べると最大は$\theta=\pi$である。また、$$\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=2\sin\theta>0\quad(0<\theta<\pi)$$より、$y$は区間全体で増加する。各点は$$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}:\left(\frac{\pi}{3}-\sqrt3,0\right),\quad \theta=0:(0,-1),\quad \theta=\pi:(\pi,3)$$となる。したがって、求める点は、$x$座標最小が$\displaystyle \left(\frac{\pi}{3}-\sqrt3,0\right)$、最大が$(\pi,3)$、$y$座標最小が$(0,-1)$、最大が$(\pi,3)$である。　 (3)について、$y=1-2\cos\theta$は$0\leq\theta\leq\pi$で増加するので、各高さにおける図形の横幅は$\pi-x(\theta)$である。よって$$\displaystyle S=\int_0^\pi (\pi-\theta+2\sin\theta)\,2\sin\theta\,d\theta.$$ここで$\displaystyle \int_0^\pi\sin\theta\,d\theta=2$、$\displaystyle \int_0^\pi\theta\sin\theta\,d\theta=\pi$（部分積分）、$\displaystyle \int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta=\pi/2$より、$$\displaystyle S=2\pi\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta-2\int_0^\pi\theta\sin\theta\,d\theta+4\int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta=4\pi.$$初期位置$\theta=0$では$(x,y)=(0,-1)$、半回転後$\theta=\pi$では$(x,y)=(\pi,3)$となり、式は図形の両端と一致する。