3福井大学 2009年 数学 第3問解答・解説

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楕円を微分すると接線の傾きは `-a/(4b)`、したがって法線の傾きは `4b/a`。法線 `y-b=(4b/a)(x-a)` から `Q=(3a/4,0)`。楕円の焦点は `F=(√3,0)` であり、`0<a<2` より `3a/4<3/2<√3` なので `QF=√3-3a/4`。

`b^2=1-a^2/4` を用いると

`PF^2=(a-√3)^2+b^2=3a^2/4-2√3a+4=(4/3)(√3-3a/4)^2=(4/3)QF^2`。

よって `QF/PF=√3/2` はPによらず一定。

(2)では `a=2cosθ` と楕円の式、`b>0` から `P=(2cosθ,sinθ)`。法線は `y=2tanθ·x-3sinθ`。そのy軸との交点は `(0,-3sinθ)` なので、求める面積は `x=0` から `x=2cosθ` までの楕円上側と法線の差の積分である。楕円上側は `y=√(4-x^2)/2`。

楕円弧とx軸・y軸で囲まれる面積を `A` とすると、`x=2cosφ` により

`A=∫_0^(2cosθ) √(4-x^2)/2 dx = 2∫_θ^(π/2) sin^2φ dφ = π/2-θ+sinθcosθ`。

法線の符号付き積分は `∫_0^(2cosθ)(2tanθ·x-3sinθ)dx=-2sinθcosθ`。したがって `S=A+2sinθcosθ=π/2-θ+3sinθcosθ`。これは、x軸下で加わる三角形と法線がx軸上で切り取る三角形との差が `ab=2sinθcosθ` となることとも一致する。

`S'=-1+3cos2θ` は `cos2θ=1/3` で一度だけ0になり、`S''=-6sin2θ<0`。導関数はその点の前で正、後で負なので、開区間内でここが最大点。よって `cosθ=√(2/3)`, `sinθ=1/√3` から `P=(2√6/3,√3/3)`。

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**答**

(1) `QF/PF=√3/2`。

(2) `S=π/2-θ+3sinθcosθ`。

(3) `P=(2√6/3,√3/3)`。