2東京医科歯科大学 2011年 数学 第2問解答・解説

$P=(p,0)$ とおく。$Q=(a,b)$ は $a^2+b^2=(a-p)^2+b^2=1$ を満たすから $a=p/2$, $b=\sqrt{1-p^2/4}$ である。$Q$ が第1象限にある条件は $0<p<2$。また $R=(p,r)$ とおくと $\sqrt{p^2+r^2}+r=2$ より $r=1-p^2/4$ となり、第1象限にある条件も $0<p<2$ である。よって (1) は $0<p<2$。

(2) で $u=p/2$, $v=\sqrt{1-u^2}$ とおけば $0<u<1$, $Q=(u,v)$, $R=(2u,v^2)$。固定した横座標 $x$ が線分 $QR$ 上にあるとき $u\le x\le2u$ であり、その点の縦座標は $$\displaystyle Y_u(x)=\left(2-\frac{x}{u}\right)v+\left(\frac{x}{u}-1\right)v^2.$$ $v'=-u/v$ を用い、xを固定してuについて微分すると $$\displaystyle \frac{dY_u(x)}{du}=\frac{1-v}{v}\left(-2u+\frac{x(1-v-v^2)}{1-v^2}\right)<0.$$ 実際、$x\le2u$ であり、$1-v-v^2\le0$ なら括弧内は負、正なら $0<(1-v-v^2)/(1-v^2)<1$ なので同じく負である。したがって縦座標は許される $u$ とともに減少する。$0<x<1$ では $x/2\le u\le x$、$1\le x<2$ では $x/2\le u<1$ だから、領域は $$\displaystyle 0<x<1:\quad \sqrt{1-x^2}\le y\le1-\frac{x^2}{4},\qquad 1\le x<2:\quad 0<y\le1-\frac{x^2}{4}.$$ 各固定$x$で$Y_u(x)$は$u$について連続なので、その上下限の間をすべて通る。

白丸と破線部分は含まない。青の実線上は端点を除いて含む。 面積は $$\displaystyle \int_0^2\left(1-\frac{x^2}{4}\right)dx-\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac43-\frac\pi4,$$ 後者は半径1の円の4分の1の面積である。

(3) $M=(u,0)$ であり、$MQ$ と $PR$ は平行な縦線分、長さはそれぞれ $v,v^2$、間隔は $u$ である。したがって四角形 $MPRQ$ の面積は $$\displaystyle S(u)=\frac{u}{2}(v+v^2)\quad (0<u<1),\qquad v=\sqrt{1-u^2}.$$ 微分して $$\displaystyle S'(u)=\frac{v^2+v^3-u^2(1+2v)}{2v}=\frac{(v+1)(3v^2-v-1)}{2v}.$$ $v$ は $u$ とともに1から0へ減少し、$3v^2-v-1=0$ の範囲内の解は $v=(1+\sqrt{13})/6$ のみである。よってそこを境に $S'$ は正から負になり、最大となる。したがって $$\displaystyle u=\sqrt{1-v^2}=\sqrt{\frac{11-\sqrt{13}}{18}},\qquad p=2u=\sqrt{\frac{2(11-\sqrt{13})}{9}}.$$